Point Group Tables

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Point Group Tables of C_3i(-3)

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Character Table of the group C_3i(-3)*
C_3i(-3)	#	1	3⁺	3^-	-1	-3⁺	-3^-	functions
A_g	Γ₁⁺	1	1	1	1	1	1	x²+y²,z²,J_z
¹E_g ²E_g	Γ₃⁺ Γ₂⁺	1 1	w² w	w w²	1 1	w² w	w w²	(xz,yz),(x²-y²,xy),(J_x,J_y)
A_u	Γ₁^-	1	1	1	-1	-1	-1	z
¹E_u ²E_u	Γ₃^- Γ₂^-	1 1	w² w	w w²	-1 -1	-w² -w	-w -w²	(x,y)

w = exp(2iπ/3)

**Subgroups of the group C_3i(-3)**
Subgroup	Order	Index
C_3i(-3)	6	1
C₃(3)	3	2
C_i(-1)	2	3
C₁(1)	1	6

[ Subduction tables ]

**Multiplication Table of irreducible representations of the group C_3i(-3)**
C_3i(-3)	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
A_g	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
A_u	·	A_g	¹E_u	¹E_g	²E_u	²E_g
¹E_g	·	·	²E_g	²E_u	A_g	A_u
¹E_u	·	·	·	²E_g	A_u	A_g
²E_g	·	·	·	·	¹E_g	¹E_u
²E_u	·	·	·	·	·	¹E_g

[ Note: the table is symmetric ]

**Symmetrized Products of Irreps**
C_3i(-3)	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
[A_g x A_g]	1	·	·	·	·	·
[A_u x A_u]	1	·	·	·	·	·
[¹E_g x ¹E_g]	·	·	·	·	1	·
[¹E_u x ¹E_u]	·	·	·	·	1	·
[²E_g x ²E_g]	·	·	1	·	·	·
[²E_u x ²E_u]	·	·	1	·	·	·

**Antisymmetrized Products of Irreps**
C_3i(-3)	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
{A_g x A_g}	·	·	·	·	·	·
{A_u x A_u}	·	·	·	·	·	·
{¹E_g x ¹E_g}	·	·	·	·	·	·
{¹E_u x ¹E_u}	·	·	·	·	·	·
{²E_g x ²E_g}	·	·	·	·	·	·
{²E_u x ²E_u}	·	·	·	·	·	·

**Irreps Decompositions**
C_3i(-3)	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
V	·	1	·	1	·	1
[V²]	2	·	2	·	2	·
[V³]	·	4	·	3	·	3
[V⁴]	5	·	5	·	5	·
A	1	·	1	·	1	·
[A²]	2	·	2	·	2	·
[A³]	4	·	3	·	3	·
[A⁴]	5	·	5	·	5	·
[V²]xV	·	6	·	6	·	6
[[V²]²]	7	·	7	·	7	·
{V²}	1	·	1	·	1	·
{A²}	1	·	1	·	1	·
{[V²]²}	5	·	5	·	5	·

V ≡ the vector representation
A ≡ the axial representation

**IR Selection Rules**
IR	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
A_g	·	x	·	x	·	x
A_u	x	·	x	·	x	·
¹E_g	·	x	·	x	·	x
¹E_u	x	·	x	·	x	·
²E_g	·	x	·	x	·	x
²E_u	x	·	x	·	x	·

[ Note: x means allowed ]

**Raman Selection Rules**
Raman	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
A_g	x	·	x	·	x	·
A_u	·	x	·	x	·	x
¹E_g	x	·	x	·	x	·
¹E_u	·	x	·	x	·	x
²E_g	x	·	x	·	x	·
²E_u	·	x	·	x	·	x

[ Note: x means allowed ]

**Subduction of the rotation group D(L) to irreps of the group C_3i(-3)**
Irreps	Dimensions	Irreps of the point group
L	2L+1	A_g	A_u	¹E_g	¹E_u	²E_g	²E_u
0	1	1	·	·	·	·	·
1	3	·	1	·	1	·	1
2	5	1	·	2	·	2	·
3	7	·	3	·	2	·	2
4	9	3	·	3	·	3	·
5	11	·	3	·	4	·	4
6	13	5	·	4	·	4	·
7	15	·	5	·	5	·	5
8	17	5	·	6	·	6	·
9	19	·	7	·	6	·	6
10	21	7	·	7	·	7	·

^* C. J. Bradley and A. P. Cracknell (1972) The Mathematical Theory of Symmetry in Solids Clarendon Press - Oxford
^* Simon L. Altmann and Peter Herzig (1994). Point-Group Theory Tables. Oxford Science Publications.

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Point Group Tables of C3i(-3)

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